Hayotiy misol

Siz doʻstingizga «Uydan chiqib 3 km yurdim» desangiz, u sizning qayerda ekaningizni bilolmaydi. «Uydan 3 km shimolga yurdim» desangiz, hammasi aniq. Birinchi holatda faqat son, ikkinchisida son va yoʻnalish aytildi. Fizikadagi kattaliklar ham shunday ikki turga boʻlinadi.

Taʼrif

Skalyar kattalik faqat son qiymati (va birligi) bilan toʻliq aniqlanadi. Masalan: massa, vaqt, yoʻl, harorat, hajm, energiya.

Vektor kattalik son qiymati (modul) va yoʻnalishi bilan aniqlanadi. Masalan: koʻchish, tezlik, tezlanish, kuch.

Vektor yoʻnaltirilgan kesma (strelka) bilan tasvirlanadi: strelka uzunligi vektor modulini, uchi esa yoʻnalishini koʻrsatadi. Vektor harf ustiga strelka qoʻyib belgilanadi, uning moduli esa |A| yoki shunchaki A deb yoziladi. Modul hech qachon manfiy boʻlmaydi.

Teng vektorlar — modullari ham, yoʻnalishlari ham bir xil vektorlar (ular fazoning qayerida turishidan qatʼi nazar).
Qarama-qarshi vektor −A — moduli A bilan bir xil, yoʻnalishi teskari.
Vektorni songa koʻpaytirish: 2A — yoʻnalishi oʻzgarmaydi, uzunligi 2 marta ortadi; −3A — uzunligi 3 marta ortadi va yoʻnalishi teskari boʻladi.

Vektorlarni qoʻshish va ayirish

**14-rasm.** Vektorlarni qoʻshishning ikki usuli va vektorlarni ayirish.

Uchburchak qoidasi: ikkinchi vektorning boshi birinchisining oxiriga qoʻyiladi; yigʻindi birinchi vektor boshidan ikkinchisi oxirigacha yoʻnalgan.
Parallelogramm qoidasi: vektorlar bitta nuqtadan qoʻyiladi; yigʻindi ular ustiga qurilgan parallelogrammning diagonali.
Koʻp vektorlarni qoʻshishda ular ketma-ket «boshini oldingisining oxiriga» qoʻyib chiziladi. Qoʻshish tartibi natijaga taʼsir qilmaydi.
Ayirish: A − B = A + (−B), yaʼni B ning qarama-qarshisini qoʻshamiz.

Vektorning proyeksiyalari

Vektorlarni burchak ostida qoʻshish uchun eng qulay usul — ularni oʻqlarga proyeksiyalash. Vektor uchidan oʻqlarga perpendikulyar tushiramiz; hosil boʻlgan kesmalar vektorning proyeksiyalari (tashkil etuvchilari) deyiladi.

**15-rasm.** A vektorning x va y oʻqlaridagi proyeksiyalari.

Proyeksiyalar

\[{A}_{x}=A\cdot \cos\,α\]\[{A}_{y}=A\cdot \sin\,α\]

\[A=\sqrt{{{A}_{x}}^{2}+{{A}_{y}}^{2}}\]\[\operatorname{tg}α=\frac{{A}_{y}}{{A}_{x}}\]

\[{R}_{x}={A}_{x}+{B}_{x}\]\[{R}_{y}={A}_{y}+{B}_{y}\]

Bu yerda α — vektor bilan x oʻqining musbat yoʻnalishi orasidagi burchak. Vektor oʻq yoʻnalishida boʻlsa, proyeksiya musbat, teskari boʻlsa, manfiy boʻladi. Proyeksiya vektor emas, ishorali son.

Namunaviy masalalar

1-masala. Turist 4 km sharqqa, keyin 3 km shimolga yurdi. Uning koʻchishi va yoʻnalishini toping.

Yechish. x oʻqini sharqqa, y oʻqini shimolga yoʻnaltiramiz: Rx = 4 km, Ry = 3 km. R = √(16 + 9) = 5 km. tg α = 3/4 = 0,75, α ≈ 37°. Javob: 5 km, sharqdan 37° shimolga.

2-masala. A vektorning moduli 10 m va u x oʻqi bilan 30° burchak hosil qiladi. B vektorning moduli 6 m va u y oʻqi boʻylab yoʻnalgan. A + B yigʻindini toping.

Yechish. Ax = 10·cos 30° ≈ 8,66 m, Ay = 10·sin 30° = 5 m; Bx = 0, By = 6 m. Rx = 8,66 m, Ry = 5 + 6 = 11 m.

\[R=\sqrt{{8{,}66}^{2}+{11}^{2}}=\sqrt{75+121}=\sqrt{196}=14\,m\]

tg α = 11/8,66 ≈ 1,27, α ≈ 52°. Javob: 14 m, x oʻqidan 52° burchak ostida.

Chuqurlashtirilgan

Ikki vektorning skalyar koʻpaytmasi son boʻlib, A·B = A·B·cos α formulasi bilan hisoblanadi. U keyinchalik mexanik ishni hisoblashda kerak boʻladi: kuch F koʻchish S bilan α burchak hosil qilsa, bajarilgan ish A = F·S·cos α. Vektorlar perpendikulyar boʻlsa, skalyar koʻpaytma nolga teng. Vektor koʻpaytma esa magnit maydon mavzusida oʻrganiladi.

Diqqat! Odatiy xatolar

Vektorlarning modullarini oddiy qoʻshib boʻlmaydi: 4 km sharqqa va 3 km shimolga yurilsa, koʻchish 7 km emas, 5 km.
tg α dan burchakni topganda chizmaga qarang: tangensi bir xil boʻlgan ikki burchak 180° ga farq qiladi.
Proyeksiya ishorasini unutmang: vektor oʻqqa qarama-qarshi yoʻnalgan boʻlsa, proyeksiya manfiy.

Qisqa xulosa

Vektor modul va yoʻnalishga ega. Vektorlar uchburchak yoki parallelogramm qoidasi bilan qoʻshiladi. Proyeksiyalar: Ax = A cos α, Ay = A sin α; yigʻindining proyeksiyasi proyeksiyalar yigʻindisiga teng.